martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de serie.

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de una serie.
  • Convergente : Cuando la suma es un número real.
  • Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
  • Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.


Propiedades generales de las series numéricas
  • å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
  • Si å an es divergente no podemos saber nada.
  • Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.






BIBLIOGRAFIAS:


    4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razon(criterio de D´Alembert) y prueba de la raiz (criterio de Cauchy).





























    BIBLIOGRAFIAS:

    webs.uvigo.es/matematicas/campus_ourense/...BB/.../guion3.pdf



    jueves, 26 de mayo de 2011

    4.3 SERIE DE POTENCIAS


    Una serie del tipo

    A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:



    Donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

    En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.

    Convergencia de una serie de potencias

    Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un
    Valor numérico particular a la variable x , se obtiene una serie que convergirá o divergirá
    Dependiendo del valor de la x .








    BIBLIOGRAFIAS:

    http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html
    http://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdf
    http://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposit
    http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/
    http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=FormalPowerSeries

    [1] J. M. Ortega (1990): “Introducción al Análisis Matemático”, Manuales de la Universidad

    Autónoma de Barcelona, Bellaterra.

    [2] V.A. Kudryasvtsev and B.P. Demidovich (1981): “A brief course of Higher Mathematics”, Mir

    Publishers, Moscú, p. 447-459.

    [3] T.A. Apostol (1981): “Calculus: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al

    álgebra lineal”, Reverté, Barcelona, p. 524-542.

    [4] M. R. Spiegel (1970): “Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas”, Serie de Compendios

    Schaum, McGraw-Hill, Mexico, p. 110-113.

    [5] R. Calm, N. Coll, y M.R. Estela (1992): “Problemas de cálculo”, Micromar, Barcelona, p. 229-249.

    [6] R. Courant and F. John (1976): “Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático”, Limusa,

    México, p. 459-463.




    miércoles, 25 de mayo de 2011

    4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

    Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
    Distancia a la singularidad
    El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:


    Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:




    BIBLIOGRAFIAS
    es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia

    4.5 SERIE DE TAYLOR

    La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

    Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando.

    En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:



    Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
    Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
    Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
    Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.


    Donde n! es el factorial de n
    F(n) es la enésima derivada de f en el punto a Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.  Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
    La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.
     El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?  La ecuación para el término residual se puede expresar como:

    Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

     Existen series de Taylor para:
    • Función exponencial
    • Logaritmo natural
    Error de Propagación:
    Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.



    Función e
    Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí. Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la función e. Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.



    Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie.


    Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso.

    Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo:


    Función Coseno
    Para el coseno el procedimiento es el mismo.
    Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.


    Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación general:


    Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso: